Higher Order Energy Expansions for Some Singularly Perturbed Neumann Problems

We consider the following singularly perturbed semilinear elliptic problem: 2 u ? u + u p = 0 in ; u > 0 in and @u @ = 0 on @; where is a bounded smooth domain in R N , > 0 is a small constant and p is a sub-critical exponent. Let J u] := R (2 2 jruj 2 + 1 2 u 2 ? 1 p+1 u p+1)dx be its energy functional, where u 2 H 1 ((). Ni and Takagi ((15], 16]) proved that for a single boundary spike solution u , the following asymptotic expansion holds # ; where c 1 > 0 is a generic constant, P is the unique local maximum point of u and H(P) is the boundary mean curvature function. In this paper, we obtain the following higher order expansion of J u ] : where c 2 ; c 3 are generic constants and R(P) is the Ricci scalar curvature at P. In particular c 3 > 0. Applications of this expansion will be given. L'expansion de l' energie de les solutions de les probl emes de la perturbation singuliere R esum e. Nous etudions le probl eme suivant de la perturbation singuliere: 2 u ? u + u p = 0 dans ; u > 0 dans et @u @ = 0 sur @; o u est un domaine ouvert dans R N , > 0 est une constante petite et p est un exposant subcritique. L' energie s' ecrit alors J u] := R (2 2 jruj 2 + 1 2 u 2 ? 1 p+1 u p+1)dx, o u u 2 H 1 ((). Ni et Takagi ((15], 16]) montrent que pour une solution u avec une pic sur la fronti ere du domaine, l' existe de la expansion asymptotique suivant: # ; o u c 1 > 0 est une constante g en erique, P est le point unique du maximum local de u et H(P) est la fonction de la curvature moyenne sur la fronti ere. Nous d erivons de la expansion suivant de l'ordre plus elev e de J u ] : o u c 2 ; c 3 sont les constantes g en eriques et R(P) est la curvature scalare de Ricci dans P. En particulier c 3 > 0. Nous pr esentons les applications de la expansion. 1 Version frann caise …